چهارضلعی ها

1) متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع رو به روی آن دو به دو موازی اند.

قضیه 1

در هر متوازی الاضلاع، اضلاع رو به رو با هم برابرند.

فرض: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

برهان: قطر BD را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\BD = BD\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow AB = DC \ , \ AD = BC\end{array}\)

عکس قضیه 1

اگر در یک چهارضلعی، اضلاع رو به رو باهم برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

فرض: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AB = DC\\\\AD = BC\\\\BD = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat D}_1} \Rightarrow AB\parallel DC\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat D}_2} \Rightarrow AD\parallel BC\end{array}\)

قضیه 2

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مجاور مکمل اند.

حکم: \(A + B = B + C = C + D = A + D = {180^0}\)

\(\begin{array}{l}AB\parallel CD \Rightarrow \hat C = {{\hat B}_2}\\\\\hat B \Rightarrow {B_1} + {B_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\end{array}\)

مابقی تساوی ها نیز به همین ترتیب ثابت می شوند.

عکس قضیه 2

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مجاور مکمل باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\\\\{{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat C}_1} \Rightarrow AB\parallel CD\end{array}\)

\(AD\parallel BC\)  به همین ترتیب ثابت می شود

قضیه 3

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابرند.

حکم: \(\begin{array}{l}\hat A = \hat C\\\hat B = \hat D\end{array}\)

از همنهشتی قضیه 1 داریم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow \hat B = \hat D \ , \ \hat A = \hat C\end{array}\)

عکس قضیه 3

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مقابل برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat B = \hat C = \hat D = {360^0} \Rightarrow 2\hat B + 2\hat C = {360^0}\\ \Rightarrow \hat B + \hat C = {180^0}\end{array}\)

از اثبات بالا نتیجه میگیریم که چهارضلعی ABCD متوازی الاضلاع است.

قضیه 4

در هر متوازی الاضلاع، قطر ها منصف یکدیگرند.

حکم: \(\begin{array}{l}OA = OC\\OB = OD\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\AB = CD\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \simeq C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow OA = OC\ ,\ OB = OD\end{array}\)

عکس قضیه 4

اگر در یک چهارضلعی، قطر ها منصف یکدیگر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}OA = OC\\\\{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2}\\\\OB = OD\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow {B_1} = {D_1} \Rightarrow AB\parallel DC\end{array}\)

سایر اثبات ها نیز همانند بالا اثبات می شود.